Das mathematische Denken, für uns Menschen voll überschaubar, ist seit den Philosophenschulen Griechenlands ein Weg zur Entwicklung des Denkens. Dabei können verschiedene Stufen des Denkens unterschieden werden: Das Vorstellen, das bewegliche Denken und das ganzheitliche Denken. Diese Stufen und der Begriff des „lebendigen Denkens“ sollen Gegenstand dieses Aufsatzes sein.
Im Mathematikunterricht werden gezielt Vorstellungsübungen durchgeführt, die Vorstellungen in Bewegung gebracht und über das bewegliche Denken soll das ganzheitliche Denken in der Schülerindividualität als Evidenzerlebnis zum Bewusstsein kommen. Dies hört sich vielleicht alles zunächst etwas kompliziert an und soll daher an einem konkreten Beispiel verdeutlicht werden: Der Beweis, dass die Winkelsumme im Dreieck stets 180° oder einen „gestreckten Winkel“ ergibt.
Stellen Sie sich zunächst ein Dreieck vor. Jeder Schüler und jede Schülerin wird sich ein anderes Dreieck vorstellen, vielleicht rechtwinklig, gleichseitig, stumpfwinklig, spitzwinklig, gleichschenklig, groß oder klein und in einer anderen Farbe. In der Vorstellung haben wir ein Bild, das wie eine Fotografie, allerdings im Geiste, vor uns hingestellt erscheint. Die bildschaffende Kraft, die wir im Denken haben, erlaubt es den Kindern innerlich einen mehr oder weniger phantasiereichen „Film“ ablaufen zu sehen, während ein Märchen erzählt wird. Auch für die Mathematik ist es wichtig, diese bildschaffenden Kräfte zu pflegen und sie mit den Kindern in den Nacherzählungen zu üben. Dies ist umso wichtiger, als heute überall Bildschirme uns die Freiheit rauben, selbst kreativ und phantasie- voll eigene innere Bilder zu entwickeln. Wer sich reiche detailgetreue innere Bilder erschaffen kann, der hat die Grundlage für räumliches geometrisches Vorstellen gelegt, kann in der Eurythmie gestalterisch kreativ Formen für Gedichte oder Musikstücke entwickeln und ist in der Lage, den nächsten Tag bildhaft im Inneren vorzuplanen. Die Gesamtheit der bildschaffenden Kräfte bezeichnet die Waldorfpädagogik als den Bildekräfteleib. Hier liegt auch die Grundlage des Gedächtnisses. Eine gute Übung gegen Vergesslichkeit ist es, sich beim Ablegen eines Gegenstandes ein Bild vom abgelegten Gegenstand und dessen Umgebung zu machen. Später wird man sich leicht erinnern, wo der Gegenstand abgelegt wurde, denn es steigt das Bild aus der Erinnerung herauf. Ein möglichst bildhafter Unterricht zielt darauf ab, die bildschaffenden Kräfte zu üben und die Unterrichtsinhalte besser im Gedächtnis zu behalten.
Doch kommen wir zurück zum Beweis der Winkelsumme von 180° im Dreieck. Sehen wir uns das obenstehende Dreieck an. Die Parallele zur Grundseite c sei die Gerade g (hier durch eine Strecke angedeutet). Wir sehen, dass die Winkel α und β oben als sogenannte Stufenwinkel wieder auftauchen. Nun ist leicht zu sehen, dass die Winkelsumme α + β + γ = 180° ist. Aber ist das schon ein Beweis? Wie wir oben gesehen haben, hat doch jeder ein anderes Dreieck im Sinn gehabt und unsere bisherigen Überlegungen beziehen sich ja nur auf die oben gezeichnete Form. Wie wäre es bei einem spitzwinkligen oder gleichseitigen oder stumpfwinkligen Dreieck? Unser „Beweis“ gilt nur für dieses eine Dreieck. Um einen „Beweis“ für alle Dreiecke zu gewinnen, bewegen wir in Gedanken den oberen Punkt C in verschiedene Richtungen und beobachten, wie sich die Winkel α, β und γ verhalten. Wird C nach oben gezogen, so wird γ klein und dafür werden α und β größer. Insgesamt bleibt das Gesamtergebnis α + β + γ = 180° erhalten. Ebenso wenn sich C nach links oder rechts bewegt und auch für jede andere Richtung. Diese Übung schult das bewegliche Denken und gibt ein Gefühl dafür, dass die Winkelsumme gleich bleibt, wenn sich auch die einzelnen Winkel verändern. Wenn sich dieses Gefühl immer mehr zu einer Gewissheit verdichtet, ist der Moment erreicht, in dem sich ein Evidenzerlebnis einstellen kann, indem alle möglichen Dreiecke in einem Augenblick überschaut werden: „Das ist ja immer so!“ Dies ist das ganzheitliche Denken, das in einem Augenblick die Ganzheit aller Dreiecke gleichsam wie in einem Panorama überschaut. Das Evidenzerlebnis zeichnet sich dadurch aus, dass der ganze Mensch in seinem Denken, Fühlen und Wollen ergriffen wird. Wenn die Lösung eines Problems auf einmal deutlich vor dem inneren Auge steht, wie in einem Panorama auf einmal überschaut werden kann, dann taucht gleichzeitig das starke Gefühl der freudigen Gewissheit auf, dass das die Lösung ist und der Wille, diese Lösung aufzuschreiben und danach zu handeln, lodert ebenfalls in den Adern. Es ist das gleiche Evidenzerlebnis, welches das Kind hat, wenn es zum ersten Mal sich selbst mit „Ich“ bezeichnet und seiner selbst bewusst wird. So lebt in diesem Evidenzerlebnis der Mensch in seiner Ganzheit auf.
Die Heranführung an solch ein Evidenzerlebnis ist wesentliche Aufgabe des Mathematikunterrichtes. Hierfür ist es notwendig, dass die Schülerinnen und Schüler konzentriert in innerer Tätigkeit dem Gedankengang folgen und die innere Beweglichkeit im Denken entwickeln. Störend wirken sich hierbei elektrostatische Aufladungen aus, die das Wohlbefinden beeinträchtigen. Ein Pullover zum Beispiel, der beim Ausziehen über den Kopf knistert, da kleine Funkenentladungen stattfinden, ist elektrostatisch aufgeladen. Ebenso können Schuhe mit Gummisohlen für eine elektrostatische Aufladung verantwortlich sein, was sich zeigt, wenn man an der Türklinke einen elektrischen Schlag bekommt. Solche Aufladungen bewirken, dass die Kinder ständig, wie gezwickt an der einen oder anderen Stelle, auf ihren Stühlen hin und her rutschen und keinem Gedankengang folgen können. Die Waldorfpädagogik spricht hier vom „Lebenssinn“, der gestört ist. Dieses Sinnesorgan, der „Lebenssinn“, meldet sich nur, wenn es unserem Lebensgefühl schlecht geht; etwa bei Hunger oder Übelkeit usw. Dann können wir nicht mehr einen Gedanken in geordneter Weise an einen anderen anschließen und die ganze „Schlüssigkeit“ unseres „Beweises“ bleibt im Nebel. Hier zeigt sich auch die wahre Natur eines „Beweises“. Der Lehrer kann den Schülern nicht etwas „beweisen“, wenn diese den Gedankengang nicht im eigenen Inneren nachvollziehen und von der Vorstellung über das bewegliche Denken zum Evidenzerlebnis im ganzheitlichen Denken aufsteigen. Im subjektiven inneren Erleben offenbart sich die Gültigkeit des Gesetzes von der Winkelsumme im Dreieck durch ein solches Evidenzerlebnis. Dennoch ist das Gesetz objektiv gültig. Im inneren Bildschaffen zeigen sich die gleichen Gesetze, wie sie auch in der äußeren Natur wirksam sind. Hier wie dort sind die gleichen Ideen schaffend in Tätigkeit. So führt uns der Aufstieg vom Vorstellen über das bewegliche Denken zum ganzheitlichen Denken hin zur Erkenntnis ewiger Gesetze, die in unserem Denken und in der Natur gleichermaßen Gültigkeit besitzen.
Leiblich nehmen wir durch die Sinnesorgane die Dinge der Außenwelt in einem Augenblick wahr. Sobald ich mich abwende, sehe ich einen anderen Teil meiner Umgebung. Der vorher gesehene Teil ist verschwunden. Seelisch bleiben mir von dem vorherigen Gesichtsfeld eine Erinnerung und ein Gefühlseindruck zurück. Es hat in meiner Seele eine Dauer bekommen und meine Stimmung und meinen Erfahrungsreichtum verändert. Wenn ich aber geistig eine Gesetzmäßigkeit erkannt habe, wie zum Beispiel die der Winkelsumme im Dreieck, dann ist mir eine ewig gültige Gesetzmäßigkeit bewusst geworden. Das Streben der Menschen, ewige Gesetzmäßigkeiten zu erkennen, urständet in der Ahnung, dass der eigene innerste Wesenskern ein ewiger ist. So ist der Antrieb zum Forschen immer verbunden mit dem Streben, das Ewige im eigenen Wesen zu finden. Ein alter Initiationsspruch lautet: „O, du Mensch, erkenne dich selbst!“
Dadurch, dass sich der Mensch seine Ideale selbst bilden und sich seinen eigenen Idealen entsprechend verhalten kann, ist die Freiheit des Menschen gewährleistet. Dabei zeigt sich, dass die bloße Intelligenz nicht ausreicht, um ein gedeihliches Zusammenleben aller Menschen zu ermöglichen. Wieviel Intelligenz ist aufgewendet worden, um die Atombombe zu erfinden und zu bauen? Wieviel Intelligenz steckt in einem mehrseitigen, kleingedruckten Vertrag, der am Ende dazu dient, mich zu übervorteilen? Das Denken muss sich mit dem Herzen verbinden und sich den Maßstab seiner Gültigkeit im sozialen Leben durch die Herzenswärme bestätigen lassen. Rudolf Steiner sagt: „Die Herzen müssen anfangen, Gedanken zu haben.“ Das lebendige Denken betrifft den ganzen Menschen. Der ganze Mensch wird zum Denkorgan. Joseph Boys sagte in etwas provokanter und schwer verständlicher Weise: „Ich denke mit dem Knie.“ Dies scheint zunächst vielleicht ein Unsinn zu sein, aber wenn wir uns besinnen, wie unser Denken vonstatten geht, dann kann auffallen, dass unsere Denkbewegungen häufig Ähnlichkeit mit den Bewegungen unseres Körpers haben. Wir gehen im Denken vorwärts und rückwärts, springen von einem Gedanken zum anderen oder drehen uns mit unseren Gedanken im Kreis. Wenn ich ein Dreieck denkend vorstelle, dann bewege ich mich innerlich ebenfalls in einem Dreieck. Wenn die Kinder in der Eurythmie Formen laufen, so erhalten sie eine Vorstellung davon, wie sich die Krümmung einer Kurve in der Mathematik oder die Flugbahn eines Objektes in der Physik verhalten, welche Fliehkräfte wirken und an welchen Stellen Wendepunkte der Bewegung sind. Diese Erlebnisse an äußeren Bewegungen sind für die denkerische Durchdringung mathematischer Kurvenformen unersetzlich, wenn erwartet wird, dass die Kinder die Funktionentheorie nicht abstrakt einpauken sollen, sondern dass sie diese lebensvoll im Inneren erfühlen können und sie freudig mit eigenen Erlebnissen verbinden. Nur wenn sich die Kinder innerlich mit dem Lehrstoff verbinden können, wird ein dauerhafter Lernerfolg möglich sein. Das Knie als wesentlicher Teil unseres Bewegungsapparates ist für unser Denken unerlässlich. Alles Herumtollen und Spielen in jungen Jahren liefert unverzichtbare Primärerfahrungen für spätere Jahre. Auch hier zeigt sich das Konzept des Lernens mit Kopf, Herz und Hand, welches den ganzen Menschen anspricht, als konsequente Anwendung des Menschenbildes, von dem die Waldorfpädagogik ausgeht. Unverzichtbar sind daher die vielen praktischen Fächer, die von allen Schülerinnen und Schülern durchlaufen werden, sowie die Klassenspiele und vieles mehr in ihrem Zusammenwirken durch die Schulzeit hindurch.
Um zum lebendigen Denken durchzudringen, sind weitergehende meditative Übungen notwendig, die von jedem Einzelnen privat geübt werden können, was aber nicht mehr das Schulleben betrifft. Eine sehr hilfreiche Übung gab Rudolf Steiner als sogenannte erste Nebenübung. Dabei denkt man fünf Minuten lang in ungeteilter Aufmerksamkeit an einen einfachen Gegenstand, ohne einen anderen Gedanken zuzulassen. Hierbei ist die Lebendigkeit der Gedankenwelt schon durch die Vehemenz, mit der andere Gedanken ins Bewusstsein drängen, zu bemerken. Das lebendige Denken führt als Bilderbewusstsein zur Erkenntnis des eigenen ewigen Wesenskernes und damit zur Freiheit des Menschen als einem aus Erkenntnis handelnden Wesen.
In der Schule wird durch das mathematische Denken ein Entwicklungsweg begonnen, der in unendliche Perspektiven hinein immer weiter führt. Dies steht in krassem Gegensatz zu der binären Logik unserer Computer, welche nur ja oder nein und entweder-oder kennen. Während das menschliche Denken auch das sowohl-als-auch, den Kompromiss und die Paradoxien kennt, die sich auf höherer Ebene wieder auflösen, ist der Computer in zwei unvereinbare Polaritäten {Null oder Eins} zerspalten. Der Mensch ist ein Wesen, das zwischen den Polaritäten einen gesunden dynamischen Gleichgewichtszustand anstrebt: Nicht zu warm und nicht zu kalt, zwischen Licht und Finsternis in den Farben lebend, zwischen toten erstarrten Formen (zum Beispiel leerer alter Traditionen) und der völligen Auflösung in überwucherndem chaotischen Leben.
Dieses mittlere Element des Abwägens unserer Entscheidungen kann nicht dem Computer überlassen bleiben, der sich nur für das eine oder andere Extrem „entscheiden“ kann. Viele Börsenspekulationsprogramme werden von Computern in Nanosekunden abgearbeitet und Käufe und Verkäufe getätigt, deren „Entscheidungsgrundlage“ rein auf der Gewinnmaximierung basiert, egal wie viel Elend auf der Welt dadurch verursacht wird. Mit der binären Logik eines Computers ist menschliches Denken nie zu erreichen. Die Forschung zur künstlichen Intelligenz (KI) versucht die Reaktionen eines Computers so „menschlich“ wie möglich erscheinen zu lassen, so dass ein Unterschied nicht mehr bemerkbar sein soll. Der Computer kommt solchen Simulationen durch wachsende Geschwindigkeit und fehlerfreie Berechnungen scheinbar immer näher. Aber sind wir nicht auch dadurch Menschen, dass wir Fehler machen und daraus lernen? Heißt es nicht zu recht: „Irren ist menschlich“? Daher sollten Kinder ermutigt werden, neue Dinge zu probieren, nicht an Fehlern zu verzagen, sondern aus ihnen zu lernen und an ihnen zu wachsen. Kinder sind keine kleinen Bio-Computer, sondern unendlich viel mehr. Es besteht eher die Gefahr, dass das Denken der Menschen mechanisiert wird, nur noch in Kategorien wie „entweder-oder“ denkt und den Zusammenhang mit dem Herzen mehr und mehr verliert.
Die Entwicklungsfähigkeit des Menschen ist unbegrenzt. Wir sind dazu berufen, mit Kreativität neue Schöpfungen hervorzubringen, die weit über eine „Null-oder-Eins-Logik“ hinausgehen. Die Stufen des Denkens, die in der Mathematik durchschritten werden können, führen uns immer mehr an unser ureigenstes Wesen heran. Leiblich stößt der Mensch immer an seine Grenzen, aber geistig nie.
Torsten Friedrichs
